La traînée

Explications et illustrations de la force de traînée sur les fusées, pour bien comprendre le phénomène et améliorer vos profils de montée sur Kerbal Space Program (KSP)!

Intro

Bienvenue sur ce blog, dont le but est de comprendre la science physique au travers d’expériences sur ce fameux logiciel de simulation spatiale qu’est KSP, et de s’améliorer dans la conception et le pilotage de ses fusées !

Nous allons :

• Découvrir quels sont les phénomènes liés à l’air qui entoure une fusée lors de la traversée de l’atmosphère,
• Faire quelques expériences sur KSP pour caractériser les forces aérodynamiques qui s’appliquent sur une fusée,
• Analyser l’équation de la force de traînée et voir ce qu’on peut en tirer numériquement,
• Voir comment on peut utiliser cette connaissance pour améliorer nos performances dans KSP !

Qu’est-ce que la force aérodynamique ?

Lors du lancement d’une fusée, certains phénomènes physiques deviennent visibles. On remarque fréquement des halos blancs, ou comme de petits nuages qui se forment autour de la partie supérieure, qui est généralement la coiffe.

Dans la video ci-dessus, lors du dernier vol de la navette spatiale, on voit bien ce « brouillard » qui apparaît autour de la structure.

Il se passe donc quelque chose d’intéressant à ce moment-là, alors que la fusée est encore dans les couches plutôt basses de l’atmosphère, et que sa vitesse est déjà relativement élevée.

Ce phénomène est dû à la condensation de la vapeur d’eau contenue dans l’atmosphère. Ce n’est pas tout à fait le sujet de ce billet alors retenons simplement que les paramètres physiques (pression, température, densité, etc.) de l’air autour de la fusée changent radicalement à son passage, puisque la vapeur d’eau condense brutalement, pour se revaporiser très vite.

Ainsi, l’écoulement de l’air autour de la fusée semble un sujet d’étude important pour l’apprenti constructeur de fusée ! Il nous faut donc une grandeur physique pertinente pour en caractériser les conséquences, et c’est la force aérodynamique.

Cette force est due aux champs de pression qui s’exercent tout autour de la fusée, c’est à dire aux impacts qu’ont les molécules composant l’air sur la structure, et aux forces liées à la viscosité du fluide dans lequel elle évolue, c’est à dire l’air.

En ce qui concerne les champs de pression, on s’attend à ce que l’air qui arrive à vitesse élevée face au véhicule crée une zone de surpression qui s’oppose à la marche de la fusée. Pour une fusée de forme simple comme la Falcon 9 par exemple, la pression maximale locale se trouve au sommet de la coiffe, à l’endroit où la surface fait directement face à l’écoulement (la plus grosse flèche sur le schéma ci-dessus).

Lors des lancements de Space X, la chronologie montre toujours le passage de « max-Q », qui est le moment où cette pression est la maximale.

Dans ce qu’on appelle la « couche limite« , le gradient de vitesse des filets d’air entre eux provoque des contraintes de friction, c’est à dire des forces entre les molécules qui constituent l’air qui se transmettent à la fusée et ont tendance à contrer son mouvement dans l’air.

Finalement, à cause de ces deux phénomènes, les champs de pression et la viscosité, l’air a tendance à contrer le mouvement de la fusée et à nous faire perdre de l’énergie. Bien caractériser et analyser cette force aérodynamique pourrait nous permettre d’améliorer nos profils de montée et le dimensionnement de nos fusées !

Quelques expériences sur Kerbal Space Program

Tout d’abord, il nous faut une fusée digne de ce nom mais pas trop complexe pour nos expériences.

Je vous présente donc Smöl Orbiteer:

Vous pouvez la télécharger ici.

C’est une fusée à deux étages, qu’on peut utiliser assez rapidement dans le jeu en mode carrière ou science car elle ne requiert que des composants du début de l’arbre technologique.

Ensuite, il faut pouvoir la lancer selon un profil que l’on puisse facilement reproduire, pour pouvoir éventuellement introduire des changements et mesurer des différences. Pour celà, on va la lancer de manière automatisée grâce au mod kRPC. Ce mod permet d’ajouter un serveur à l’intérieur de KSP qui grâce au protocole RPC nous permettra de communiquer avec le jeu. On pourra ainsi mesurer des paramètres (altitude, vitesse, etc.) et donner des ordres (allumer les moteurs, séparer les étages, etc.) pendant le vol, en temps réel, au travers d’un programme écrit en python.

Le script de lancement se trouve là.

Si vous voulez vous aussi refaire la même expérience, il suffit:

• d’installer la fusée dans votre KSP: il faut simplement copier le fichier .craft dans le dossier VAB de votre sauvegarde, c’est à dire dans <dossier_installation_ksp>\saves\<nom_sauvegarde>\Ships\VAB
• d’installer le mod kRPC,
• d’installer python et dans python, le module krpc,
• de démarrer le serveur kRPC,
• et finalement de lancer le script.

Profil de lancement

Le profil de lancement est très classique:

• Une montée initiale verticale jusqu’à une altitude de 100m,

• Un virage initial de 3 degrés vers l’Est jusqu’à 500m,

• Puis un « gravity turn », c’est à dire un suivi de la trajectoire selon le vecteur prograde jusqu’à l’extinction du premier étage,

• Séparation et allumage du deuxième étage jusqu’à ce que l’apoapsis atteigne 80000m

• Arrêt de l’enregistrement à 70000m c’est à dire en dehors de l’atmosphère.

La courbe de la traînée, premières interprétations

Le script écrit les paramètres de télémétrie au passage des 70 000m dans le fichier « output.csv », que l’on peut ouvrir et exploiter sur un tableur (Excel, Google Sheets, Calc, etc.).

Vu que l’on s’intéresse à la trainée et que krpc la fournit directement, on va commencer par mesurer ce paramètre.

Hé bien il s’en passe des choses ! On peut déjà commencer par prendre des repères temporels et analyser la courbe selon le profil de vol.

Analyse des détails

Quelques secondes après le lancement, en passant 100m, on demande au pilote automatique de tenir 87° d’assiette vers l’Est, c’est l' »Initial Turn ». La fusée n’est alors plus alignée avec son vecteur vitesse, elle vole « de travers », donc son fuselage fait partiellement face au flux d’air. Au moment où on demande à la fusée de suivre le vecteur prograde (elle devient alors alignée avec la vitesse), vers 500m d’altitude, 14 secondes après le départ, on observe une chute de la traînée.

On en conclut que la traînée est dépendante de la surface que la fusée « offre » au flux d’air. Si elle est bien alignée sur sa trajectoire, sa traînée est bien moindre. Pour une trajectoire de montée efficace, la fusée devrait toujours être axée très proche de son vecteur vitesse, c’est à dire sur KSP proche du vecteur prograde.

Au moment de la séparation du premier étage, on observe aussi une chute soudaine de la traînée. Or, la surface offerte au flux d’air n’a pas changé, seule la longueur du cylindre constitué par la fusée diminue. On reconnaît là l’effet de la viscosité : la surface totale du véhicule a diminué donc la traînée diminue aussi.

On en déduit que dès que le premier étage est éteint, même si on veut allumer le deuxième étage plus tard, il faut le séparer.

L’éléphant dans la pièce

Mais évidemment, cette analyse des détails ne nous aide pas vraiment à comprendre la forme générale de la courbe ! C’est important, car à son maximum, la traînée est responsable d’une force de 13 800 N, soit presque 12% du poids de la fusée au décollage !

Il nous faut analyser cette courbe en la découpant par parties que l’on isole graphiquement:

• (Partie verte) Au lancement, la force de traînée augmente rapidement avec la vitesse et son évolution semble stable, ce qui nous permet de penser qu’une équation pourrait permettre de prévoir son évolution.
• (Partie rouge) Pourtant, passant un certain point, on constate un effondrement brutal de la traînée qui ne semble lié à rien de particulier en ce qui concerne le profil de vol de la fusée.
• (Partie jaune) Après cette chute brutale, on constate toujours une chute mais moins forte, associée à des instabilités (la courbe est visiblement moins lisse).
• (Partie bleue) En dehors de la petite rupture liée à la séparation des étages, on semble revenir à une évolution plus stable vers une disparition progressive de la traînée, dans les couches supérieures de l’atmosphère.

L’équation de la force de traînée

Un peu de mathématiques

Il est temps de faire un peu de mathématiques, mais rassurons-nous, on va simplement analyser ce que la science nous propose dans la caractérisation de cette force de traînée.

   

avec ρ la masse volumique du fluide,
S la surface de référence du mobile,
Cx son coefficient de traînée,
et V sa vitesse.

L’équation est donc le simple produit de ces 4 grandeurs, que l’on divise en deux (pour une raison qui dépasse le cadre de cet article). Cette force est donc directement proportionnelle à la densité atmosphérique, à une surface de référence, au coefficient de traînée, et au carré de la vitesse. C’est une caractéristique intéressante: toutes choses égales par ailleurs (altitude, forme de la fusée), la traînée quadruple si la vitesse double !

On peut facilement réécrire cette équation pour tenter de caractériser ce qu’on ne connaît pas : comme kRPC nous permet de récupérer la masse volumique et la vitesse, on peut évaluer ce que font la surface de référence et le coefficient de traînée.

   

La courbe du coefficient de frottement Cx

On crée une nouvelle colonne dans notre tableur pour calculer cette grandeur, et voici ce que ça donne:

Pour les 90 premières secondes, puisqu’on considère la surface de référence S comme constante jusqu’à la séparation, car la géométrie de la fusée ne change pas, la forme de la courbe orange est caractéristique du coefficient de frottement. Rappelons-le, on a aussi annulé les effets de la vitesse et de la densité.

Comme on ne connaît pas S, qui est de toutes façons une convention, c’est à dire définie par l’expérimentateur pour généraliser les mesures liées à l’écoulement, nous allons caractériser directement le produit S.Cx, dont on gardera en tête qu’il est proportionnel au Cx avant la séparation du premier étage.

Le Cx mesuré ici est donc caractéristique du type de l’écoulement seulement, et on voit que ce coefficient ne se comporte pas tout le temps de la même manière.

Les effets de la compressibilité

L’air est un gaz, donc un fluide compressible, constitué de molécules agitées et en interaction. Lorsqu’une perturbation mécanique (comme un déplacement) est appliquée à l’une de ces molécules, elle transmet cette perturbation à ses voisines sous la forme d’une vibration. La vitesse à laquelle cette perturbation se propage dans le milieu est ce qu’on appelle la vitesse du son (environ 340 m/s au niveau de la mer soit 1220 km/h !).

Tant que la vitesse d’un écoulement reste relativement faible devant la vitesse du son, on ne considère pas les effets de compressibilité car ils ne sont pas significatifs. Dans cette plage de vitesses faibles, le coefficient Cx est une constante ! Par contre, aux vitesses plus élevées, Cx devient variable.

• Pour les premières secondes du lancement, on voit qu’en effet avant d’atteindre mach 0,3 (30% de la vitesse du son, environ 110 m/s), le Cx est relativement constant et la valeur de S.Cx vaut environ 0,34. C’est un peu difficile à voir car à ce moment la fusée fait son virage initial et donc S n’est pas constante jusqu’à environ 15 secondes après le lancement (la fusée ne vole pas droit !).
• Ensuite, le Cx réduit progressivement pour atteindre S.Cx = 0,25 à mach 0,9. On est à ce moment-là au maximum de la traînée.
• On assite alors à l’effondrement du Cx, qui passe en 4 secondes de 0,25 à 0,125 , donc une division par deux ! Alors que dans le même temps, le mach passe de 0,9 à 1,1 , et la vitesse de 290 m/s à 350 m/s. C’est donc un phénomène rapide, qui a lieu dans une étroite plage de vitesse. On appelle ce phénomène la crise de traînée. Il a lieu ici dans le domaine transsonique du vol.
• Ensuite, la fusée est dans le domaine supersonique et on observe de nouveau une réduction progressive du Cx jusqu’à mach 2 (on est alors à 61 secondes après le lancement et un peu plus de 10 000m d’altitude).
• Enfin, la réduction est plus graduelle et tend vers la valeur de 0.03. L’évolution croissante à la toute fin du vol atmosphérique est moins intéressante, car la valeur de la traînée est alors tellement faible qu’elle n’a plus d’impact significatif sur le vol de la fusée : à 120 secondes, on est à 43 700 mètres d’altitude et la traînée est de 37 N (comme si on ajoutait 3,8 Kg sur la tête de la fusée, autant dire rien du tout). On peut tout de même remarquer que le Cx redevient constant, caractéristique intéressante pour l’étude des rentrées atmosphériques.

Le nombre de Reynolds (Re)

Le nombre de Reynolds est une grandeur pour caractériser les écoulements : on a remarqué que les écoulements se comportaient de manière relativement équivalente à nombre de Reynolds égal, quelque soient le fluide (air, eau, etc.) ou la vitesse.

Pour ceux qui voudraient plus de détails, la page wikipedia est disponible !

On utilise l’équation :

   

Avec:

• V la vitesse,
• Lc la longueur caractéristique
• ν la viscosité cinématique du fluide (ici l’air, dépendant de la température mais on ne va pas rentrer dans les détails !)

Il devient alors intéressant de tracer l’évolution du Cx par rapport à Re:

Que l’on peut séparer en plusieurs zones caractéristiques:

On voit qu’on peut maintenant caractériser l’écoulement, et donc la traînée, par des segments de droite, ce qui facilite grandement les calculs si on veut prévoir et optimiser des trajectoires.

Et max Q dans tout ça ?

Nous avons brièvement parlé de max Q, qui est la pression dynamique maximale que subit la fusée pendant sa traversée de l’atmosphère. Comme cette pression s’oppose à la marche de la fusée, on pourrait faire l’hypothèse que max-Q correspond au maximum de la traînée.

Où on se rend compte que contrairement à ce qu’on pourrait croire, max-Q a lieu bien après le maximum de traînée ! L’ecoulement d’air changeant radicalement dans le domaine transsonique, la traînée induite par les champs de pression devient faible par rapport aux effets de compressibilité et de viscosité.

On peut alors se poser la question de l’importance de ce passage de max-Q, qui semble très important pour les concepteurs de fusée (réelles !).

Le problème est simplement structurel : les différences de pression, si elles sont trop fortes, peuvent endommager les matériaux qui constituent la fusée, et en particulier la coiffe, qui est justement là pour protéger la charge utile des « agressions » atmosphériques. C’est pour cette raison que Space X choisit de réduire la puissance en approchant max-Q : cela permet de passer le pic de pression plus tard, plus haut et moins vite ! La pression dynamique maximale s’en retrouve réduite, et ils peuvent se permettre d’utiliser une coiffe moins solide donc plus légère.

En conclusion, que retenir ?

Pour le joueur de KSP autant que pour l’amateur de sciences physique et de fusées, on a appris pas mal de choses ! Mais en pratique, on peut retenir:

• La traînée est liée à une surface de référence de la fusée, à la densité de l’air, à un coefficient de traînée et au carré de la vitesse,
• Le coefficient de traînée n’est constant qu’aux faibles vitesses, ensuite la compressibilité rend ce coefficient variable,
• Il faut passer la crise de traînée dans le domaine transsonique le plus vite possible pour ne pas perdre trop d’énergie,
• On peut caractériser la traînée par rapport au nombre de Reynolds, donc on doit pouvoir la prévoir (on en reparlera !),
• Max-Q n’est pas nécessairement le moment où la traînée est maximale.

Bien entendu, ces quelques découvertes ne sont pas suffisantes pour effectuer un lancement efficace, mais cela peut aider ! On voit quelques fois des joueurs qui évitent les effets aérodynamiques pendant leurs lancements, en réduisant la puissance du moteur. Ce n’est pas une bonne idée ! Au contraire, comme on l’a vu, il vaut mieux passer au moins mach 1,1 avant toute réduction, or, il y a des effets visuels à cette vitesse dans le jeu (traînées blanches de condensation). Il ne faut pas en avoir peur !

Dans les prochains billets, nous allons étudier quels autres phénomènes physiques nous avons besoin d’étudier pour mieux jouer à KSP, comme la gravité, la mécanique orbitale, etc…

N’hésitez pas à partager ce billet si vous l’avez trouvé intéressant, et commentez si vous avez des questions !